Analyse avancée des résidus
Définition
Les résidus sont les écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle. Leur analyse valide les hypothèses du modèle et révèle les observations influentes. Un modèle dont les résidus montrent une structure est mal spécifié.
Normalité des résidus
Le test d'Anderson-Darling sur les résidus vérifie l'hypothèse de normalité. Un nuage de points sur papier de probabilité aligné sur la diagonale indique des résidus normaux. Des queues écartées signalent des valeurs extrêmes ou un modèle mal adapté. La normalité des résidus compte pour les intervalles de confiance et les tests de significativité.
Homoscédasticité
La variance des résidus doit rester constante sur toute la plage des prédictions. Un entonnoir dans le graphique des résidus contre les valeurs prédites indique une variance croissante. La transformation de Box-Cox corrige souvent ce défaut. Un modèle dont la variance triple avec la prédiction donne des intervalles de confiance trop étroits aux grandes valeurs.
Indépendance
Les résidus doivent être indépendants dans le temps. Une série de résidus qui monte puis descend signale une autocorrélation. Le test de Durbin-Watson détecte une corrélation d'ordre un, avec une valeur proche de 2 pour des résidus indépendants. Une valeur sous 1,5 indique une autocorrélation positive à corriger, souvent en ajoutant une variable temps ou un terme de retard.
Observations influentes
Une observation peut peser fort sur le modèle. Le levier, ou leverage, mesure la distance d'une observation au centre des données. La distance de Cook combine levier et résidu pour repérer les points influents. Un point avec une distance de Cook supérieure à 1 mérite un examen. Un relevé de température erroné peut à lui seul faire basculer un coefficient de significatif à non significatif.
Exemple concret
Un modèle de consommation d'énergie dans un entrepôt montre des résidus en cloche sur les jours de grande activité. Le graphique des résidus contre la température extérieure révèle une courbure. L'ajout d'un terme quadratique de température élimine la structure. Le test de Durbin-Watson passe de 1,2 à 1,9, et le modèle devient utilisable pour la prévision.