Régression non linéaire et transformations Box-Cox
Définition
Quand la relation entre Y et les variables d'entrée n'est pas une droite, on transforme les données ou on change de forme de modèle. La transformation de Box-Cox stabilise la variance et rapproche la distribution de la normale. La régression logistique modélise une sortie binaire, la régression de Poisson un comptage.
Transformation de Box-Cox
La famille Box-Cox applique une puissance lambda aux valeurs de Y, avec le logarithme pour lambda nul. Le lambda est estimé pour maximiser la normalité des résidus. Un lambda proche de 0 suggère une transformation logarithmique, un lambda de 0,5 une racine carrée. La transformation s'applique à la sortie, pas aux entrées. Une analyse des résidus avant et après transformation montre l'amélioration de la stabilité de la variance.
Régression logistique
La régression logistique prédit la probabilité d'un événement binaire, comme un défaut présent ou absent. Le logit de la probabilité est modélisé comme une combinaison linéaire des variables. Chaque coefficient s'interprète comme un effet sur l'odds, le rapport de chances. Un coefficient de 0,5 pour la température signifie que chaque degré multiplie l'odds du défaut par 1,65.
Régression de Poisson
La régression de Poisson modélise un comptage, comme le nombre de pannes par semaine ou de réclamations par mois. Le logarithme du compte attendu est une combinaison linéaire des variables. Elle convient aux données rares où la distribution normale ne s'applique pas. Un atelier modélise le nombre d'incidents par jour en fonction de l'équipe et du volume de production.
Interprétation sur données transformées
Les prévisions sur données transformées doivent être retransformées pour retrouver l'échelle d'origine. Une prévision faite en logarithme devient une valeur en unités réelles par exponentiation. L'intervalle de confiance se retransforme aussi, et devient asymétrique. Un intervalle symétrique sur le log donne un intervalle décalé vers les grandes valeurs sur l'échelle d'origine.
Exemple concret
Un processeur de paiement modélise le délai de traitement en fonction du montant et du canal. Les résidus montrent une variance croissante avec le montant. La transformation logarithmique du délai stabilise la variance et normalise les résidus. Le modèle final sur log(délai) obtient un R² de 0,81 et des résidus sans structure.