Plans factoriels complets et fractionnaires

Définition

Le plan d'expériences, ou DOE, structure les essais pour estimer les effets des facteurs avec un minimum d'expériences. Le plan factoriel complet teste toutes les combinaisons de niveaux. Le plan fractionnaire teste une partie des combinaisons quand le nombre d'essais serait trop grand.

Plan factoriel complet 2^k

Un plan complet à deux niveaux par facteur et k facteurs demande 2^k essais. Deux facteurs demandent 4 essais, trois facteurs 8, quatre facteurs 16. Le plan estime chaque effet principal et chaque interaction avec une précision égale. Un plan 2^3 permet d'estimer 3 effets principaux, 3 interactions doubles et 1 interaction triple.

Plan fractionnaire 2^(k-p)

Quand k dépasse 4 ou 5, le plan complet devient coûteux. Le plan fractionnaire réduit le nombre d'essais en confondant certains effets. Un plan 2^(5-1) demande 16 essais au lieu de 32 et confond chaque effet principal avec une interaction d'ordre quatre. La résolution d'un plan indique le niveau de confusion : un plan de résolution V confond les effets principaux avec des interactions d'ordre quatre seulement, un plan de résolution III confond les effets principaux entre eux.

Aliasage

Deux effets confondus ne peuvent pas être estimés séparément, ils sont aliasés. Un plan de résolution III donne des effets principaux mélangés à des interactions doubles, ce qui biaise les conclusions si les interactions existent. La règle de parcimonie suppose que les interactions d'ordre élevé sont rares. On commence par un plan fractionnaire, puis on désaliasse les facteurs suspects avec des essais ciblés.

Randomisation et réplication

La randomisation répartit les effets de nuisance non contrôlés sur tous les essais. La réplication estime l'erreur expérimentale et améliore la précision. Sans réplication, aucun test de significativité n'est possible sur un plan saturé. Un plan avec deux répliques coûte deux fois plus mais donne une mesure de l'erreur.

Blocs

Les blocs regroupent les essais dans des conditions homogènes, comme une journée ou une machine. La variation entre blocs est retirée de l'erreur, ce qui augmente la sensibilité du test. Un plan 2^3 en deux blocs sépare l'effet de la journée de l'erreur. Un bloc incomplet confond l'effet du bloc avec une interaction, à choisir avec précaution.

Exemple concret

Un fabricant de joints étudie quatre facteurs : température, pression, durée et type de matière. Un plan 2^4 complet demanderait 16 essais par réplique. Un plan fractionnaire de résolution IV demande 8 essais et confond les interactions doubles entre elles. L'analyse montre deux facteurs principaux significatifs et aucune interaction, ce qui oriente le réglage final.