Régression multiple
Définition
La régression multiple relie une variable de sortie Y à plusieurs variables d'entrée à la fois. L'équation s'écrit Y = a + b1X1 + b2X2 + b3X3. Chaque coefficient mesure l'effet d'une variable quand les autres restent fixes. Elle sert à comprendre quels facteurs pilotent un résultat et à prévoir.
Coefficients et R² ajusté
Chaque coefficient b porte un test de significativité : si sa p-value est inférieure à alpha, la variable contribue au modèle. Le R² augmente mécaniquement quand on ajoute des variables, même inutiles. Le R² ajusté pénalise les variables superflues et permet de comparer des modèles à nombre de termes différent.
Intervalles de confiance
L'intervalle de confiance d'un coefficient encadre sa vraie valeur avec un niveau de confiance, souvent 95 %. Un intervalle qui contient 0 indique un effet non significatif. L'intervalle de prédiction d'une nouvelle observation est plus large que l'intervalle de la moyenne, car il ajoute la variation individuelle.
Modèles non linéaires et Box-Cox
Quand la relation n'est pas une droite, on transforme les données. La transformation de Box-Cox stabilise la variance et rapproche la distribution de la normale en appliquant une puissance aux valeurs, par exemple le logarithme. On ajuste ensuite un modèle sur les données transformées. La non-linéarité peut aussi venir d'un terme croisé ou quadratique ajouté au modèle.
La colinéarité
Deux variables d'entrée fortement corrélées entre elles rendent les coefficients instables : le modèle ne sait pas quelle variable porte l'effet. Les signes peuvent même devenir illogiques. On détecte le problème par les facteurs d'inflation de la variance, et on retire une des variables redondantes.
Exemple concret
Un centre d'appels modélise le temps de traitement Y en fonction de l'ancienneté de l'agent, du type de demande et du nombre d'écrans ouverts. Le modèle final donne un R² ajusté de 0,71 avec deux variables significatives. L'intervalle de confiance du coefficient ancienneté va de -1,8 à -1,2 minutes par année, un effet réel et stable.